Portraits et témoignages de chercheurs

Membre de l’Académie des Sciences, Professeur à l’Université Pierre et Marie Curie depuis 1981, Marc Yor effectue ses recherches au Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires (LPMA). Depuis le début de sa carrière – il a soutenu sa thèse de 3e cycle en 1973, puis sa thèse d’Etat en 1976 - il s’intéresse au calcul stochastique, et plus spécialement aux martingales, qui sont un type particulier de processus aléatoires « en équilibre », et au mouvement brownien.

Mouvement brownien

Après sa thèse de 3e cycle, Marc Yor a essayé de s’orienter vers la physique théorique avant de découvrir l’univers passionnant du mouvement brownien. « J’avais commencé, pendant un an, par faire de la théorie quantique des champs, notamment dans le cadre du programme de Symanzik. Ce programme demandait de connaître des propriétés fines du mouvement brownien plan. J’ai donc décidé d’étudier ce domaine et j’y suis resté. » Il observe par exemple la façon dont la trajectoire du mouvement brownien plan s’enroule autour d’un nombre fini de points. « On fait l’étude asymptotique de ces enroulements, c’est-à-dire que l’on regarde comment cela se passe lorsque le temps tend vers l’infini » explique-t-il. « C’est une question sur laquelle j’ai passé beaucoup de temps entre 1977 et 1989. Les résultats décisifs ont été obtenus avec Jim Pitman, professeur à Berkeley, et Jean-François Le Gall, qui préparait alors sa thèse d’Etat (en 1984). »

Mathématiques financières

Bien qu’il ne se considère pas comme un spécialiste des mathématiques financières, les travaux de Marc Yor trouvent de nombreuses applications dans ce domaine. Par exemple, il s’est intéressé aux options asiatiques, qui s’expriment en termes d’exponentielles du mouvement brownien. Il relate : « Un certain nombre de gens qui travaillent en mathématiques financières m’ont posé sur le mouvement brownien des questions qu’ils rencontraient dans leur activité ». Il ajoute : « Mon intérêt, c’est le mouvement brownien lui-même, mais je suis heureux que d’autres domaines comme la finance soient à l’origine de questions intéressantes du point de vue des mathématiques. Cela apporte un angle nouveau, une approche nouvelle. »

La finance n’est pas le seul domaine à nourrir les recherches de Marc Yor : « J’ai parlé précédemment de processus continus, mais on peut aussi considérer des processus qui comportent des sauts : les processus de Lévy. Ils interviennent par exemple dans les télécommunications ou dans des questions physiques, comme la formation des galaxies. Par conséquent, je travaille aussi en contact avec des physiciens théoriciens. »

Un exemple de problème ouvert

« Considérons une certaine information accumulée jusqu’à un temps t. Il peut s’agir, par exemple, de l’information emmagasinée sur une population au cours du temps. Bien sûr, cette information augmente avec le temps. Une question est de se demander si cette famille d’informations, fonction du temps t, peut être décrite par un mouvement brownien. Si oui, on dit que c’est une information brownienne. Autrement dit, un processus peut coder une famille d’informations. Il s’agit alors de classifier ces familles d’informations : je me demande en particulier si telle famille est brownienne ou pas. A l’heure actuelle on a des conditions nécessaires pour dire si c’est le cas mais pas de conditions nécessaires et suffisantes. Boris Tsirelson, actuellement en Israël après avoir vécu et travaillé en Union Soviétique, a permis de réaliser beaucoup de progrès sur ces questions. »

Allers-retours entre deux domaines mathématiques

D’autres domaines des mathématiques peuvent être une source de questions pour les probabilistes. La théorie des nombres en est un exemple. Ainsi, les nombres premiers étant distribués de manière erratique, on peut se demander s’il existe un (ou des) modèle(s) probabiliste(s) qui rende(nt) compte de leur distribution. Il en existe effectivement, par exemple le modèle dit de Cramer.

Un autre problème fascinant (ayant d’ailleurs des liens étroits avec le précédent) extérieur aux probabilités mais trouvant des éclairages grâce à elles est l’hypothèse de Riemann, un problème d’arithmétique extrêmement difficile qui figure dans la fameuse liste des « sept problèmes du millénaire » distingués par la Fondation Clay. Avec les travaux par exemple de Dyson et plus récemment de Keating et Snaith, on essaie d’obtenir des avancées sur ce problème via l’étude des matrices aléatoires de grandes tailles, en faisant un aller-retour entre les deux domaines. « C’est comme s’il existait un dictionnaire entre d’un côté la fonction zêta de Riemann et de l’autre les matrices aléatoires » explique Marc Yor. Grosso modo, les questions sur la fonction zêta sont en quelque sorte « traduites », grâce à ce « dictionnaire », dans le domaine des matrices aléatoires, celles-ci étant moins difficiles à étudier. Ensuite les résultats sont « traduits » en sens inverse, c’est-à-dire du domaine des probabilités vers le domaine de la fonction zêta. « On ne sait d’ailleurs même pas pourquoi cela fonctionne si bien » admet le mathématicien. « C’est comme si deux peuples habitant deux endroits opposés sur la planète et n’ayant jamais eu de contacts l’un avec l’autre avaient élaboré des langages structurés exactement de la même manière. » Et il conclut : « C’est une des caractéristiques merveilleuses des mathématiques : deux domaines ne sont a priori pas liés entre eux et pourtant les travaux effectués dans l’un permettent d’avancer dans l’autre ! »

Le fascinant Wolfgang Döblin (1915-1940)

Marc Yor a eu la chance de participer à la publication d’un des travaux d’un mathématicien hors du commun mort en 1940 : Wolfgang Döblin.

Né en 1915, Wolfgang est le fils du médecin et grand écrivain allemand Alfred Döblin, antinazi de la première heure, auteur du célèbre Berlin Alexanderplatz porté à l’écran par Fassbinder.

Le jeune Wolfgang semble avoir très tôt témoigné de convictions politiques fortes. Ainsi, au lycée, il refuse de suivre les cours d’instruction religieuse. Plus tard, il explique avoir voulu étudier la statistique et l’économie dans un but marxiste. La famille Döblin, juive, quitte Berlin dès la Nuit de Cristal pour émigrer en Suisse, puis en France. Ils obtiendront la nationalité française. Resté dans la capitale allemande jusqu’à l’obtention de son baccalauréat, Wolfgang les rejoint à Maisons-Laffitte. Il soutient sa thèse (qui porte, grosso modo, sur l’équation de Kolmogorov et autres questions connexes) en 1938, sous la direction de Maurice Fréchet.

A 24 ans, Wolfgang Döblin est enrôlé dans la « Drôle de guerre ». Il se bat notamment en Lorraine et obtient la Croix de Guerre. Il se suicide après la capitulation de la France, le 21 juin 1940, dans une grange de Housseras, petit village des Vosges. Auparavant, il avait eu le soin, dès février 1940, d’envoyer ses travaux à l’Académie sous pli cacheté.

En 2000, ce fameux pli de Döblin est enfin ouvert après 60 années d’attente, grâce aux demandes répétées du mathématicien Bernard Bru. Marc Yor en découvre alors le contenu. « Je connaissais à peine l’existence de ce pli », se souvient-il. Il se passionne immédiatement pour le personnage de Döblin. A partir de mai 2000, il travaille donc avec Bernard Bru à la publication du pli, qui paraîtra accompagné de notes historiques et mathématiques dans un volume spécial des Comptes-rendus de l’Académie en décembre 2000.

« Döblin décrit les processus de diffusion unidimensionnels, qui modélisent une particule aléatoire qui évolue continûment au cours du temps », explique Marc Yor. « Pour cela, il utilise la notion de martingale et développe des relations entre les martingales continues et le mouvement brownien. Ces travaux complètent brillamment ceux de sa thèse ; on peut penser qu’il avait discuté de la notion de martingale à l’IHP, avec Jeanville. » Coïncidences des destinées mathématiques : on peut faire un parallèle entre Döblin et le mathématicien japonais Kiyoshi Ito, né lui aussi en 1915, mobilisé pendant la Seconde Guerre Mondiale, et qui s’est également illustré pour ses travaux de premier plan sur les processus stochastiques, dont le mouvement brownien, bien que les deux mathématiciens n’aient jamais été en contact. On notera cependant qu’Ito est mort en 2008, à l’âge honorable de 93 ans.

Dans la veine d’Abel et Galois

« Quand on a étudié le Pli Cacheté de Döblin en 2000, on s’est rendu compte que, dans le domaine couvert par le pli, ce jeune mathématicien avait 25 ans d’avance » poursuit Marc Yor. « En effet, dans le contenu de ce fameux pli, qui date donc de 1940, il développe des méthodes et des résultats (re)découverts vers 1965. » Jeunesse, œuvre mathématique exceptionnelle (écrite pour partie dans les terribles conditions de la Seconde Guerre mondiale), mort tragique, reconnaissance posthume : à bien des égards, Wolfgang Döblin rappelle Niels Abel et – peut-être encore plus, du fait de ses convictions politiques affirmées et de son tempérament – Evariste Galois. Le grand mathématicien Paul Lévy - « qui n’était pas réputé pour distribuer des compliments à tort et à travers » insiste Marc Yor – n’hésitera pas à le situer dans la catégorie de ces deux jeunes mathématiciens géniaux.

« 10 ans après l’ouverture du pli, il est émouvant de constater que l’intérêt pour les travaux et la vie de Wolfgang Döblin ne s’est pas toujours pas tari », constate Marc Yor. « Il faut cependant ajouter que ceux qui s’y intéressent le font pour des raisons très diverses. Certains sont des probabilistes, d’autres, des amateurs des romans de son père Alfred, d’autres encore manifestent une curiosité envers l’évolution spirituelle de cette famille juive convertie au catholicisme après son émigration aux Etats-Unis. » On peut notamment retrouver Döblin dans le livre de Marc Petit paru en 2003, L’Equation de Kolmogorov, ainsi que dans deux films documentaires :Wolfgang Doeblin, A Mathematician Rediscovered, d’Agnes Handwerk et Harrie Willems (DVD Springer, 2007) et La lettre scellée du soldat Döblin, de Jürgen Ellinghaus et Hubert Ferry (diffusé sur Arte en 2006).

Marc Yor a contribué à faire connaître ce mathématicien remarquable non seulement dans la communauté mathématique (la publication des œuvres complètes de Wolfgang Döblin est actuellement en cours ; ces œuvres consistent – outre le Pli Cacheté – en 13 articles et 13 Notes aux Comptes rendus, dont l’ensemble a été publié en 4 ans !) mais aussi auprès du grand public, puisqu’il lui a consacré le sujet de sa conférence du 23 janvier 2008 à la BnF, dans le cadre du cycle « Un texte, un mathématicien » destiné aux non-spécialistes. « Tout cela n’aurait pu avoir lieu sans la ténacité de Bernard Bru » rappelle Marc Yor en guise de conclusion.

Remerciements de Marc Yor

« Ils vont à Gaël Octavia qui a su transformer notre conversation très informelle en un texte qui, je l’espère, amènera encore de nouvelles personnes, mathématiciennes ou autres, à s’intéresser à divers aspects de la vie et de l’œuvre de Wolfgang Döblin.

Ils vont aussi et surtout à Bernard Bru, dont l’inlassable volonté de faire connaître les travaux de Wolfgang Döblin s’est finalement trouvé récompensée au delà de toute espérance. »

Corinna Cortes est chercheuse en informatique et dirige Google Research, après avoir travaillé pendant plus de 10 ans dans les laboratoires AT&T Labs – Research (anciennement AT&T Bell Labs). Ses recherches portent sur les algorithmes d’apprentissage automatique, un domaine qui trouve des applications dans des outils tels que les moteurs de recherche, les systèmes de reconnaissance automatique de l’écriture ou de traitement de la parole. Elle a en particulier apporté d’importantes contributions aux bases théoriques des machines à support vectoriel ainsi qu’au data-mining (c’est à dire l’extraction de connaissances à partir de données) pour les très grandes données. Elle a notamment reçu pour ses travaux la Médaille AT&T Science and Technology en 2000 et, conjointement à Vladimir Vapnik, le Prix Paris Kanellakis Theory and Practice en 2008, deux prix importants en informatique. Propos recueillis à l'occasion de Maths A Venir 2009.

Could you describe shortly your college path and career from your first position as a researcher to present?
My path as a student was a long and windy road. Just like many other girls in high school, I took math and physics at the highest level, and really liked math. But, due to some peer pressure and other areas of interest of mine, I did a detour through theology and later Danish literature! During a break, I felt a need to identify with the working class (this was the very early eighties) and I also took a job at a factory where I met a number of engineering students. That was a great experience. I eventually changed to math and physics, and completed a Master’s degree in Denmark.
On my way to a Ph.D. program in computer science in the US, I got a summer internship at AT&T Bell Laboratories, back then one of the most prestigious research labs in the world. I didn’t really leave it the next 14 years. I was lucky enough to spend most of my student years there, only occasionally visiting my university, and after my Ph.D. degree, I stayed on as a full-time researcher.
With the rise of the Internet, new possibilities opened up, and, 6 years ago, I moved to Google Research, one of the most fascinating and energizing work places in the US.

What was your very first subject of research?
My first years at Bell Labs were spent in a machine learning group, which shaped my later carrier. A year after I got there, Vladimir Vapnik joined the group, and together we developed Support Vector Machines. That became a part of my thesis and has remained one of my main interests since then. Support Vector Machines inspired work in many other machine learning algorithms, and today I would rather say I work on “Kernel Methods”, but my work is still very related to my original thesis work.

Which problems are you currently working on?
The problem settings I am working on have changed a bit over the years.
Learning theory and algorithms were originally designed for a flawless world, somewhat perturbed by random noise. But the real world we deal with at Google is often far from that perfect ideal. In practice, data is poorly labeled or not labeled at all, data can be biased or drawn from slightly different problems than what one is trying to learn, and the distributions may drift with time. Machine learning at Google must address all these issues to be effective and obtain high-quality solutions. Disregarding these questions can lead to dramatically poor performance or lead to unpredictable results or behavior, thereby harming quality.
Another challenge facing learning applications at Google is the staggering size of the datasets, which exceeds several million and can reach billions of high-dimensional data points. Scaling exiting learning algorithms to deal with such magnitudes using massively distributed systems, or devising novel techniques taking advantage of these systems while not sacrificing learning guarantees, is an important question in many of our applications.

Could you describe to us in simple words a typical problem raised in your field of research?
Sure, let us take image search as an example. Search for images using all the major search engines is still primarily text-based. We input text, and the images returned are primarily based on the text surrounding the images. We clearly have to move towards better image understanding, building learning algorithms that can reliably recognize objects in the images. But just think of the scale of the internet, how many images are out there and how many object recognizer are needed. Think of the quality of the images. The object recognizers will have to be very robust against noise and occlusion, be able to work on low as well as high resolution images, color and black and white, etc. These are hard problems for machine learning.

Are the problems you deal with raised by practical needs or is it pure theory?
The fun thing about being at Google is that we have access to real problems and lots of data. Hence, naturally, the problems we are working on are inspired by practical needs. Otherwise, we could just as well be in academia. But we are striving to find general solutions that can work across a number of applications and produce publishable results. A good project has two major outlets: a publication and a launch. Both exciting.

Could you describe a typical application of your current work?
To solve problems in machine learning, one typically has to build a classifier from labelled data. Support Vector Machines is still one of the most popular techniques. SVMs are widely available in a number of software packages and used by most machine learning practitioners.

Do you consider yourself as a mathematician or as a computer scientist?
I am trained as a mathematician, a physicist and a computer scientist, and I think of myself as all of the above. It is really important to have good math skills to be able to prove properties about an algorithm [will it converge? Is there a unique solution? What guarantees does it give for performance on a new test point?]. It requires a lot of knowledge of optimization to effectively deal with the scale of our applications, it requires good intuition about data to know what to pursue, and it requires good computer science skills to independently develop a solution. In my group, we have primarily computer scientists, but we also have optimization people and statisticians.

Which mathematics are “hidden” (for the average user) in tools you work on?
The large-scale problems in machine learning have inspired a lot of mathematicians to work on approximation algorithms and optimization techniques. Good knowledge of algorithms is another hidden field.

What kind of unsolved problem do you find in your field of research?
How do you effectively and relatively accurately invert a million-dimensional dense matrix in seconds on an ordinary desktop computer.

Do you think that the average person needs to know or should know a few of the science behind the computing tools daily used by them?
Maybe not the average person, but I could wish the young people better realized the opportunities that lie ahead of them if they master computers and can enhance the flow of information.
Just think of a visit to the hospital, how much of our treatment is tied to recent developments in computer science. The image processing behind the MRI or x-ray we get to locate the problem, the monitoring and alerting of our vital signs, the development in computational biology and the drug industry where one can simulate and experiment with new medications using computers, the electronic records that makes our chart available to all functions of the hospital, the statistics that is aggregated to better understand the outcome of the treatment. It is sad that especially girls are not more attracted to the area.

Propos recueillis à l'occasion de Maths A Venir 2009, à retrouver sur le site de Maths A Venir.

Nalini Anantharaman, 33 ans, professeur de mathématiques à l’Université Paris Sud-Orsay	Josselin Garnier, 38 ans, professeur de mathématiques à l’Université Paris-Diderot

Comment êtes-vous devenus mathématiciens ?

Nalini Anantharaman

J’ai grandi dans une famille de mathématiciens donc c’était pour moi une idée assez naturelle.Souvent, on ne pense pas que les mathématiques puissent être une carrière. Aux yeux de beaucoup de gens, être bon en maths permet de faire d’autres choses (ingénieur, par exemple), mais pas mathématicien. J’ai eu une petite hésitation entre les mathématiques et la musique (le piano), mais j’ai vite opté pour les maths.

Josselin Garnier

Chez moi, il n’y avait pas de tradition mathématique dans la famille. Ma vocation est venue plus tard. J’ai été assez tôt attiré par les domaines scientifiques – passé l’inévitable phase où je voulais être pompier – mais j’aimais plutôt la chimie. C’est à l’Ecole Normale Supérieure que j’ai découvert des mathématiques qui m’intéressaient.

Quelles sont les qualités nécessaires pour être mathématicien ?

Nalini Anantharaman

Il n’y a pas vraiment de profil. Certains mathématiciens sont des gens très organisés, d’autres très désordonnés, certains écrivent beaucoup, d’autres font des mathématiques en ayant l’air de rêvasser…

Josselin Garnier

Il suffit de voir les bureaux des mathématiciens pour comprendre qu’il en existe de tous les styles.

Nalini Anantharaman

S’il fallait trouver une qualité commune, je citerais toutefois la persévérance.

Josselin Garnier

Je suis d’accord : quand on est mathématicien, on passe 90% de son temps à explorer des fausses pistes.

Nalini Anantharaman

Il faut aussi être créatif, mais la créativité en mathématiques, ça veut dire savoir poser de bonnes questions et pas seulement savoir trouver des réponses. Il faut aussi savoir convaincre ses collègues de l’intérêt des questions que l’on pose.

Josselin Garnier

J’ajouterai aussi la capacité à ne pas avoir le nez dans le guidon, avoir du recul sur ce que l’on fait.

Comment travaille un mathématicien ?

Nalini Anantharaman

Un mathématicien essaye de démontrer des choses nouvelles. Pour cela, il doit se tenir au courant de ce que les autres ont fait. Une partie du travail consiste donc à lire des articles. A partir des travaux des autres, on trouve de nouvelles idées, on pose de nouvelles questions.

Josselin Garnier

On va à des colloques, soit pour faire des exposés, soit pour en écouter, ce qui dans les deux cas donne lieu à des discussions, à de nouvelles questions. A chaque question résolue, deux nouvelles viennent.

Nalini Anantharaman

Une partie de notre travail consiste également à encadrer des thèses. On apprend beaucoup des étudiants car eux-mêmes posent des questions et ont des idées très inattendues.

Toute la partie qui consiste à trouver des idées de questions se fait donc avec d’autres : mathématiciens, étudiants, et aussi, dans mon cas, avec des physiciens. Ensuite, vient la partie « recherche », où l’on essaye de répondre à ces nouvelles questions. Pour moi, c’est la partie solitaire, que j’effectue d’ailleurs beaucoup à la maison.

Josselin Garnier

L’idée mathématique peut venir n’importe où, à n’importe quel moment.

Nalini Anantharaman

En tout cas c’est un métier où l’on apprend sans cesse de nouvelles choses. Je suis professeur et chercheuse mais une partie de moi est une éternelle étudiante.

Collaborez-vous avec des spécialistes d’autres disciplines ?

Nalini Anantharaman

Nous travaillons tous les deux dans des domaines en lien avec d’autres disciplines, et même, pour Josselin, avec l’industrie. J’étudie l’équation de Schrödinger, qui est une des équations de base de la mécanique quantique. Je collabore avec des physiciens théoriciens.

Josselin Garnier

Quant à moi, mon travail est à l’interface entre les équations aux dérivées partielles et les probabilités. Je suis en relation avec des physiciens expérimentaux. Mes travaux touchent à des domaines où interviennent des ondes, comme l’imagerie, les télécoms…

Pouvez-vous donner un exemple de question que vous essayez de résoudre ?

Josselin Garnier

En ce moment, j’essaie d’exploiter le bruit de fond. Est-ce qu’il y a de l’information dans ces signaux qu’on appelle du « bruit » et que l’on jette ? Est-ce qu’on peut faire de l’imagerie avec ?

Nalini Anantharaman

Moi, j’essaye de comprendre les phénomènes de dispersion. Une onde se propage dans une cavité fermée. Elle va rebondir sur les parois. J’essaye de comprendre la manière dont elle va se disperser : va-elle rester cloisonnée, confinée dans une partie de la cavité ou va-t-elle se disperser dans toute la cavité ?

Qu’est-ce que vous aimez dans le métier de mathématicien ?

Josselin Garnier

J’aime beaucoup le processus de découverte, avec ses hauts et ses bas, ses surprises. J’aime ces moments où on a l’impression que l’on s’approche de la solution, où l’on ressent cette excitation très particulière, jusqu’à ce que l’on réalise que c’est une fausse piste et qu’il faut en chercher une autre. Et puis évidemment, de temps en temps, on fait une vraie découverte et c’est un moment très jouissif. On a le sentiment, pour reprendre l’expression de Descartes, d’être « maître et possesseur de la nature ».

Nalini Anantharaman

J’aime aussi le fait que, finalement, la manière dont notre cerveau fonctionne, la manière dont on raisonne, dont on aboutit à une découverte, tout cela reste mystérieux. Un autre aspect fascinant des mathématiques est que c’est un langage abstrait qui, pourtant, est reflété par la nature.

Josselin Garnier

Par exemple, vous faites une expérience virtuelle, dans votre tête ou avec un ordinateur, vous en calculez le résultat. Tout cela est abstrait. Et pourtant, lorsque vous faites cette expérience pour de vrai, dans la réalité, cela fonctionne comme vous l’aviez prévu. Cela continue à me surprendre !

Pourquoi, à votre avis, les mathématiques sont-elles si impopulaires auprès du grand public ?

Nalini Anantharaman

Les mathématiques sont victimes du rôle négatif qu’on leur fait jouer comme instrument de sélection. Les gens s’en souviennent comme d’une cause de stress ou d’échec scolaire.

Josselin Garnier

Je trouve également dommage que la vision que l’on a des mathématiques au collège, au lycée et même en classe préparatoire soit si réductrice, binaire, et n’ait rien à voir avec la réalité de la recherche. Dans un exercice scolaire, vous avez des hypothèses posées, une unique conclusion à laquelle il faut absolument arriver et l’impression qu’entre les deux, il n’y a qu’un seul chemin. La recherche c’est tout le contraire : on n’a ni hypothèse ni conclusion posées a priori, il y a mille chemins possibles et on ne connaît pas les outils qui nous mèneront à une découverte.

Nalini Anantharaman

A l’école, la solution d’un exercice tombe comme un couperet. Il manque l’idée que l’on peut faire plusieurs tentatives, il manque les notions de droit à l’erreur, de droit à recommencer…

Josselin Garnier

Dans l’enseignement, on n’explique pas aux élèves – probablement par manque de temps - que tâtonner, réessayer, changer de méthode, tout cela fait partie des mathématiques.

Nalini Anantharaman

De plus, l’erreur peut être féconde, elle peut amener à d’autres découvertes. Toute initiative est bonne !

Pensez-vous qu’il faille vulgariser les mathématiques auprès du grand public ?

Nalini Anantharaman

Oui. Les mathématiques font partie de la culture générale. Le public doit connaître un certain vocabulaire mathématique.

Josselin Garnier

Il faut que les gens voient certaines images, entendent parler de certaines théories, de certains grand problèmes de mathématiques. Mais c’est une tâche ardue ! Il faut repousser les préjugés sur le fait que les mathématiques ne peuvent pas être appréciées par le commun des mortels sauf s'il a reçu "le don" (on dirait plutôt, s'il a la bosse des maths). Il faut montrer que les mathématiques sont vivantes.

Nalini Anantharaman

Les chercheurs en mathématiques sont toujours volontaires pour tenter des animations de type « Fête de la science » ou des conférences grand public, car cela permet d'avoir une discussion directe, très stimulante avec le public. Evidemment, de nombreux chercheurs seraient volontaires pour participer à des émissions de radio ou de télé, même s'il y a une plus grande timidité vis-à-vis de ces medias. Il est toujours difficile d'expliquer un résultat mathématique.

Josselin Garnier

Je pense que cela vient du fait qu'un résultat mathématique ne peut vraiment s'apprécier qu'à travers la compréhension du chemin qu'il a fallu suivre pour l'obtenir.

Nalini Anantharaman

Dans une conférence ou une émission, on peut au mieux donner une intuition de ce que sont les objets mathématiques et de ce qu'est l'activité d'un chercheur.

Ancien polytechnicien, mathématicien, spécialiste des neurosciences, membre de l’Académie des Sciences, Olivier Faugeras est Directeur de Recherche à l'INRIA (Unité de Recherche de Sophia Antipolis) et dirige NEUROMATHCOMP, un projet de recherche tourné vers la modélisation mathématique des neurones et des ensembles de neurones. Il s’intéresse plus particulièrement à la reconstruction 3D de l'activité du cerveau humain, à la vision par ordinateur, à l’analyse d’images en vue de comprendre la perception visuelle, à la neuroscience computationnelle (qui essaye de comprendre les relations entre la structure et la fonction du cerveau et du système nerveux), à l’analyse du mouvement et de la stéréoscopie… Il est professeur à l’Ecole Normale Supérieure. Il nous parle ici des liens entre mathématiques et neurosciences. (Propos recueillis à l'occasion de Maths A Venir 2009.)

Étienne Ghys est directeur de recherche CNRS à l’Unité de Mathématiques pures et appliquées de l’École Normale Supérieure de Lyon, qu’il a contribué à fonder, et membre de l’Académie des Sciences. Ses travaux touchent plus particulièrement à la géométrie, à la topologie et aux systèmes dynamiques, bien qu’il n’aime guère cloisonner les mathématiques, qui, selon lui, « sont une seule et même chose ». Lorsqu’on lui demande d’énoncer ses domaines de recherche, il préfère répondre tout simplement « je fais des mathématiques ».

Propos recueillis à l'occasion de Maths A Venir 2009.

Classes préparatoires au lycée Louis-le-Grand, Ecole Normale Supérieure… François Loeser a suivi le parcours d’étudiant le plus classique pour devenir mathématicien. Entré au CNRS en 1985, il devient ensuite, en 1989, professeur à l’Université Pierre et Marie Curie, puis, de 2000 à 2010, à l’ENS, dont il dirige le Département de mathématiques et applications (UMR 8553 du CNRS). En septembre 2010, il quitte l’ENS pour retrouver l’Université Pierre et Marie Curie et l’Institut de Mathématiques de Jussieu. Entre autres distinctions, il a reçu un Advanced Investigator Grant de l’European Research Council pour la période 2010-2014, une importante récompense au niveau européen, ainsi que la Médaille d'argent du CNRS en 2011.

Pour en savoir plus, consultez ici sa page personnelle : www.math.jussieu.fr/~loeser/

A l’interface de quatre domaines

François Loeser a commencé sa carrière de chercheur en étudiant les singularités, c’est-à-dire, les points, dans une forme géométrique, où l’on observe une rupture (ces points singuliers sont par exemple les points de rebroussement d’une courbe, ou encore les points où une surface se coupe). Il s’est ensuite intéressé à l’étude des intégrales p-adiques, puis à l’intégration motivique, et enfin à la théorie des modèles. « D’un certain point de vue, je ne suis pas spécialiste d’un domaine donné mais à l’interface de quatre domaines : les singularités, la géométrie algébrique, la théorie des nombres et la théorie des modèles » explique-t-il avant d’ajouter : « Au cours de ma carrière, j’ai eu l’impression d’opérer des changements mais en fait, avec le recul, je me rends compte qu’il y a une unité dans tout ce que j’ai fait. Finalement, même si on augmente le champ des techniques utilisées, on reste sur les mêmes questions. »

Intégrales p-adiques

Classiquement, on calcule des intégrales en utilisant des nombres réels. En pratique, le calcul intégral sert, par exemple, à calculer des aires. En théorie des nombres, d’autres corps que le corps des réels sont apparus. Les corps p-adiques en font partie. (Ici, le p désigne un nombre premier.) Dans l’étude des intégrales, il peut être intéressant de chercher quelles sont les analogies et les différences entre le cas habituel, avec des réels, et le cas p-adique.

Une des découvertes principales de François Loeser, en collaboration avec le mathématicien belge Jan Denef, est qu’en utilisant des intégrales p-adiques, on pouvait démontrer des résultats sur la géométrie des variétés algébriques complexes (autrement dit les lieux des zéros des polynômes à plusieurs variables sur les nombres complexes). « C’est très étonnant car les nombres complexes et les nombres p-adiques sont deux mondes parallèles. Il est surprenant de démontrer grâce aux uns des résultats sur les autres », confie François Loeser. « Cet exemple est au cœur de ma vision personnelle des mathématiques. C’est l’art d’utiliser des analogies en permanence. »

Intégration motivique

Les bases de l’intégration motivique ont été posées en 1995 par Maxim Konsevitch. Ce concept est difficile à appréhender pour le non-spécialiste, mais on peut essayer de s’en faire une idée : « Avant d’intégrer des fonctions, on mesure des ensembles », rappelle François Loeser. « Deux questions qui se posent naturellement sont : quels sont les ensembles que l’on mesure ? et qu’est-ce que la mesure ? Dans le cas habituel, les ensembles sont des parties de Rn et la mesure, un nombre réel positif. Il s’agit donc à chaque fois de nombres réels. Dans l’intégration motivique, il y a une différence de nature entre ce que l’on mesure et là où se situe la mesure. Les ensembles mesurés sont des parties de Kn, où K est un corps de séries formelles, tandis que la mesure est un objet géométrique sur C, le corps des complexes. Avant Konsevitch, on essayait de faire des mesures à valeurs réelles sur ces ensembles de Kn. L’idée fondamentale de Konsevitch a été de remplacer les réels par un anneau construit avec des objets géométriques complexes. »

François Loeser a beaucoup contribué au développement de l’intégration motivique, d’abord avec Jan Denef puis avec Raf Cluckers, un autre mathématicien belge. Cette nouvelle technique a permis de démontrer les résultats évoqués précédemment sur les variétés algébriques complexes sans utiliser les nombres p-adiques mais en utilisant à leur place des séries formelles à coefficients complexes.

« On a tendance à croire que pour étudier quelque chose sur C, on n’a pas besoin de sortir de C », s’amuse François Loeser. « Là, on voit qu’il peut être utile de voir les nombres complexes comme faisant partie d’un corps plus grand : le corps des séries formelles. En travaillant sur ce corps des séries formelles, on obtient les résultats que l’on n’arrivait pas à démontrer sur C. »

L’intégration motivique permet également d’obtenir des résultats d’uniformité sur les intégrales p-adiques quand p varie.

Enfin, un autre exemple d’application de l’intégration motivique est en lien avec le Lemme Fondamental, une conjecture essentielle du programme de Langlands. Le Lemme Fondamental est une égalité entre deux fonctions définies par des intégrales. Il a été établi par Gérard Laumon et Bao Chau Ngo sur les corps de fonctions (qui sont une généralisation du corps des fractions rationnelles en une variable). Ensuite, Jean-Loup Waldspurger (mathématicien français qui a obtenu cette année le très prestigieux Prix Clay) a démontré que si on connaissait le Lemme Fondamental sur les corps de fonctions, on pouvait le déduire sur les corps p-adiques. L’intégration motivique permet de retrouver directement ce résultat de Waldspurger.

Théorie des modèles

Dans ses travaux sur l’intégration motivique, François Loeser utilise de la logique mathématique, et plus précisément un domaine de la logique mathématique qui s’appelle la théorie des modèles, et qui est une façon abstraite de comprendre l’algèbre.

« Il y a toujours eu une forte présence de l’univers non-archimédien et de la géométrie dans mes travaux », remarque le mathématicien. Pour se faire une idée, disons que selon le point de vue non-archimédien, on s’intéresse aux ordres de grandeur plutôt qu’aux mesures exactes. En géométrie non-archimédienne, tous les triangles sont isocèles.

« Quand on fait de la géométrie sur un corps non-archimédien, si on a une approche trop naïve, on se retrouve avec des objets totalement discontinus et donc impossibles à étudier » remarque François Loeser. « En revanche, en ajoutant des points à ces espaces, on obtient, comme l’a observé Vladimir Berkovich, des objets qui ont de bonnes propriétés. Avec Ehud Hrushovski, on s’est aperçu qu’en utilisant de la théorie des modèles très avancée, comme la stabilité, on pouvait démontrer que les espaces introduits par Berkovich ont de bonnes propriétés topologiques dans des cas non connus auparavant. »

Un mathématicien ouvert

Quand on lui demande sur quels problèmes il travaille, François Loeser répond : « Je ne me considère pas comme un problem-solver. Je n’ai jamais l’impression de travailler sur un problème déterminé à l'avance mais plutôt sur de nouvelles techniques, de nouvelles idées, pour découvrir que l’on peut faire des choses intéressantes avec. » Et si on lui demande si ses travaux ont des applications, il rétorque : « Oui, des applications aux mathématiques. »

François Loeser fait partie de ces mathématiciens curieux, qui s’intéressent de près aux recherches de leurs collègues travaillant sur d’autres problèmes que les leurs, voire dans d’autres domaines. Il y trouve aussi bien des applications potentielles pour ses travaux que des sources d’inspiration. « Je ne me suis jamais senti à l’intérieur d’une discipline fixe. Je suis d’ailleurs très content d’être invité à des conférences dont les publics n’ont presque pas d’intersection entre eux. »

Curiosité, ouverture à des thématiques variées sont pour François Loeser des qualités essentielles chez un mathématicien même si, pour conclure, il admet avec humour que « cela rend peut-être plus difficile d'être reconnu par chaque communauté. »

Les Advanced Investigator Grants de l’ERC

C’est la deuxième édition pour ces « grants » financés par la Communauté Européenne, qui subventionnent des chercheurs choisis sur « projet novateur » comportant une « prise de risque ». Les prix comportent deux niveaux : « starting », pour des jeunes chercheurs, et « advanced », tel qu’obtenu par François Loeser. Même si le lauréat souligne qu’« il est difficile d’expliquer sur 20 ou 30 pages ce que l’on va faire les prochaines années », il encourage ses collègues à candidater car les budgets alloués devraient être en augmentation. Celui qu’il recevra pendant 5 ans, de 2010 à 2014, permettra de financer des invitations de collègues et d’experts extérieurs à son laboratoire, des post-docs et des thèses.

Plus d'informations sur le site de l'ERC : cliquez ici.

Artur Avila est né à Rio de Janeiro en 1979. A seize ans, il remporte la médaille d'or des Olympiades Internationales de Mathématiques, à Toronto, puis intègre l'Instituto Nacional de Matemática Pura y Aplicada (IMPA) de Rio, où il commence des études de mathématiques tout en finissant le lycée. Il n'a que dix-neuf ans quand il commence une thèse sous la direction de Welington de Melo. Il la soutiendra en 2001. Il effectue ensuite un postdoc au Collège de France jusqu'en 2003, date à laquelle le CNRS le recrute.
En 2005, il a l'honneur d'assurer le Cours Peccot du Collège de France, sur le thème : Dynamique des cocycles quasipériodiques et spectre de l'opérateur presque-Mathieu.
En 2006, alors âgé de vingt-sept ans, il reçoit deux récompenses prestigieuses : la Médaille de Bronze du CNRS et le Prix Salem, ainsi qu'une bourse de recherche de trois ans du Clay Mathematics Institute, ce qui lui donne l'opportunité de passer plus de temps à l'IMPA.
Directeur de Recherche CNRS depuis 2008 (à seulement vingt-neuf ans, donc), il travaille aujourd'hui entre Rio et Paris.

Au 5^e Congrès Européen de Mathématiques, en juillet 2008, il reçoit le Prix de la Société Européenne de Mathématiques pour ses travaux en systèmes dynamiques et en particulier ses contributions sur le Flot de Teichmuller et les échanges d'intervalles.

En juillet 2009, l'Academie des Sciences lui attribue le Grand Prix Jacques Herbrand, qui distingue tous les deux ans un jeune chercheur de moins de trente-cinq ans et dont les derniers lauréats furent Cédric Villani (2007), Franck Barthe (2005) et Wendelin Werner (2003).

Dynamique unidimensionnelle et fractals

Les opérateurs de Schrödinger quasipériodiques

Les opérateurs de Schrödinger quasipériodiques sont des objets qui intéressent en particulier la physique mathématique. Eux aussi font apparaître des ensembles fractals, le plus connu étant le papillon de Hofstadter (Hofstadter's butterfly).

Le papillon de Hofstadter

Echanges d’intervalles

Les échanges d’intervalles sont un autre sujet d’étude d’Artur Avila. Prenons un intervalle, coupons-le en deux et échangeons l'ordre des morceaux. Cette opération préserve l'ordre cyclique de l'intervalle. On peut l'imaginer en remplaçant l'intervalle par des cartes à jouer (quand vous "coupez" vos cartes et replacez le tas du dessous au-dessus). Ce découpage en deux est un exemple simple d'échange d'intervalles.

Le flot de Teichmuller

Sur le métier de mathématicien

Artur Avila, qui a souvent travaillé avec des co-auteurs, confie apprécier le travail en groupe :

« Pour moi, le travail en groupe est utile pour plusieurs raisons. D’abord, je préfère discuter les mathématiques que de lire les mathématiques. J'aime être confronté au point de vue d'un autre mathématicien, qui peut être assez différent du mien. Et puis ces discussions présentent un autre avantage : au moment où on essaye d’expliquer un aspect d’un problème à quelqu’un, il arrive souvent que l’on voie quelque chose que l'on n'avait pas considéré auparavant. Le seul fait de verbaliser une idée peut déclencher une nouvelle découverte. C'est intéressant également de voir la différence de style entre plusieurs coauteurs. J'aime bien cette partie sociale des mathématiques. »

Samedi 3 septembre 2016 disparaissait, à 59 ans seulement, l'un des plus grands mathématiciens français contemporains : Jean-Christophe Yoccoz.
Jean-Christophe Yoccoz, c'était l'éternel premier. Médaille d'or aux Olympiades Internationales, premier prix du concours général, reçu premier à l'ENS, classé premier à l'agrégation de mathématiques dans sa jeunesse, il devient, en 1994, lauréat de la Médaille Fields. Professeur au Collège de France, élu à l'Académie des Sciences, Jean-Christophe Yoccoz était aussi membre de l'Académie Brésilienne des Sciences. Il avait beaucoup fait pour les relations scientifiques franco-brésiliennes, nouant dans ce pays de nombreuses collaborations, notamment avec les chercheurs de l'IMPA de Rio de Janeiro. C'est d'ailleurs lui qui, en 2001, avait invité au Collège de France un jeune homme prometteur nommé Artur Avila (Médaille Fields 2014).
La FSMP salue un immense scientifique.

Ceux qui désirent en savoir plus sur Jean-Christophe Yoccoz trouveront dans ce post un florilège (non exhaustif) de textes et de vidéos (articles, interviews, conférences) accessibles, glanés sur le Net.

Hommage d'Images des Mathématiques

Parmi les nombeux articles consacrés à Jean-Christophe Yoccoz dans la presse, celui de Sylvain Crovisier, publié sur le site Images des mathématiques, nous offre un aperçu des contributions majeures du mathématicien. Cliquez ici pour lire cet article.

Interview du CIRM

Interviewé par le CIRM, Jean-Christophe Yoccoz nous invite à découvrir son domaine de recherche, les systèmes dynamiques, et les travaux qui lui ont valu la médaille Fields.

Conférence du 13 avril 2005 à la BnF

Le 13 avril 2005, Jean-Christophe Yoccoz participait au cycle de conférences grand public Un texte, un mathématicien, organisé par la SMF et la BnF, avec un exposé intitulé Une erreur féconde du mathématicien Henri Poincaré. Le texte de cette conférence passionnante avait été publié dans La Gazette des mathématiciens et repris, avec l'aimable autorisation de la SMF, dans la Revue du Collège de France.
Retrouvez ici la page qui lui est consacrée - on peut notamment y télécharger le fac-similé du texte publié.

Entretien du Collège de France : les systèmes dynamiques

Dans ce premier entretien du Collège de France, Jean-Christophe Yoccoz répond à la question "qu'est-ce qu'un système dynamique ?" et laisse éclater son talent de vulgarisateur.

Le nombre de rotations et ses avatars

Voici une vidéo réalisée par l'Institut Henri Poincaré où Jean-Christophe Yoccoz présente une contribution d'Henri Poincaré à la théorie qualitative des équations différentielles.